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Il castello di carta della matematica - Pagina 2

I giudizi a priori sono indipendenti dall'esperienza e derivano dal pensiero in se stesso; si distinguono per la loro necessità e universalità.
I giudizi empirici o a posteriori derivano dall'esperienza, pertanto non sono universali ma contingenti, particolari, dipendono da fatti specifici.
I giudizi analitici sono quelli contenuti implicitamente nel soggetto di cui si parla, pertanto non ampliano la nostra conoscenza.
I giudizi sintetici sono quelli che aggiungono al soggetto di cui si parla qualcosa che non era già pensato in esso, pertanto ampliano effettivamente la nostra conoscenza.
L'attenzione di Kant è rivolta ai giudizi sintetici a priori. Essi rappresenterebbero una forma di conoscenza sicura e universale che arricchisce la nostra conoscenza su un dato oggetto e allo stesso tempo non ha il carattere di imperfezione della conoscenza empirica.
Per Kant, le proposizioni della matematica sono giudizi a priori e non empirici, poichè la loro necessità è di tipo logico e non dipende dall'esperienza.
In particolare, i postulati della geometria di Euclide sono giudizi sintetici a priori, e di conseguenza lo sono anche tutti i teoremi della geometria.
In che modo, allora, le nostre conoscenze dello spazio sono applicabili al mondo esterno dei fenomeni fisici? Perchè i postulati di Euclide ci appaiono veri e non riusciamo ad immaginarne altri?
Secondo Kant, i dati relativi allo spazio reale in cui viviamo ci giungono attraverso i sensi e vengono organizzati dal nostro intelletto. Quando giungono alla nostra coscienza sono stati già rielaborati. La nostra idea di spazio non si riferisce allo spazio reale esterno a noi, ma ad uno spazio di natura intellettiva che filtra e organizza le nostre esperienze. L'intuizione a priori dello spazio è quindi a fondamento della geometria, così come l'aritmetica si fonda sul tempo (il "contare" come reiterazione continua nel tempo di una singola unità di base).
I principi di Euclide descrivono, quindi, non uno spazio esterno ma questa struttura mentale che ci permette di cogliere e organizzare la percezione che abbiamo degli oggetti. Essi sono infallibili e indiscutibili proprio perchè non si riferiscono all'esperienza, ma al modo in cui la nostra mente dà una struttura all'esperienza.

3) LA NASCITA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Abbiamo visto chiaramente come per Kant le regole di Euclide non solo descrivono la realtà esterna al soggetto, ma addirittura ne sarebbero a fondamento.
E' facile quindi immaginare in quale situazione di sgomento e di crisi vennero a trovarsi tutte i pensatori successivi, quando nella prima metà del XIX secolo vennero pubblicati i primi trattati riguardanti geometrie differenti da quella di Euclide.
Il punto caldo che diede il via alla "rivoluzione" fu, come accennato sopra, il V postulato degli "Elementi", che nella sua forma semplificata recita: "Per un punto esterno ad una retta passa una sola parallela alla retta data".
Già Euclide stesso, infatti, non era pienamente convinto dell'assoluta e inconfutabile verità di questo postulato (che neanche lui riuscì a dimostrare), ma dovette inserirlo comunque nella sua opera per poter dimostrare molti dei successivi teoremi; questo postulato, pur essendo coerente col senso comune, non presenta tuttavia quel carattere di evidenza comune agli altri assiomi proposti dal matematico greco.
Nel 1733, Gerolamo Saccheri pubblicò: "Euclides ab omni naevo vindicatus" (Euclide emendato da ogni difetto), un'opera nella quale il matematico italiano, ragionando per assurdo, tentò di dimostrare il V postulato. Assumendolo come falso, Saccheri era alla ricerca di contraddizioni stridenti con altre parti della geometria; formulò e dimostrò così una serie di teoremi diversi da quelli euclidei. In tale inconsapevole anticipazione di risultati non euclidei consiste l'importanza dell'opera di Saccheri, il quale tuttavia, annebbiato dal pregiudizio, considerò le sue conclusioni "ripugnanti" e ne dedusse di aver commesso qualche errore.
All'inizio del XIX secolo, tre matematici, il tedesco Carl Friedrich Gauss, l'ungherese János Bolyai e il russo Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, l'uno indipendentemente dall'altro, capirono che il postulato era, in realtà, indimostrabile.
Un aneddoto curioso lega i primi due studiosi. Il padre di Bolyai era infatti amico di Gauss, la più grande autorità matematica del tempo, e a lui per primo Bolyai padre comunicò orgogliosamente le scoperte del figlio. Gauss gli mostrò il suo lavoro e le conclusioni a cui era giunto, che erano le stesse di Bolyai figlio, il quale non reagì nel migliore dei modi, perchè sospettò che il tedesco volesse impadronirsi della scoperta e che il padre lo avesse tradito. Bolyai smise definitivamente di occuparsi dell'argomento e perse via via il suo equilibrio mentale.
Il procedimento seguito dai tre matematici, con molta approssimazione espositiva, è il seguente.
Data una retta per il punto P che intersechi r in un punto Q, si può allontanare il punto di intersezione verso l'infinito da una parte (verso destra) o dall'altra (verso sinistra). Ora, se ci liberiamo dal nostro punto di vista legato alle consuetudini, cosa impedisce di pensare che tra la posizione della parallela destra td e quella della parallela sinistra ts non vi siano altre rette che non intersecano r?

Fu soprattutto Lobačevskij in seguito a sviluppare ulteriormente queste nuove teorie. Tra l'altro, nella sua geometria si dimostra che la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto: essa è uguale a  - k, in cui k, detto difetto, è un numero non negativo che dipende dalle dimensioni dei lati del triangolo. E, quanto più un triangolo è "grande", tanto maggiore è la sua differenza da un "normale" triangolo euclideo, in cui la somma degli angoli interni è uguale ad un angolo piatto.
Nell'ottica di Lobačevskij, perciò, la sua geometria non contraddice la geometria euclidea, ma ne costituisce una generalizzazione. Infatti, rispetto alle grandezze piuttosto piccole che in genere misuriamo, il difetto k è talmente piccolo da diventare trascurabile e diventa quindi corretta (per la classe di problemi che "abitualmente" trattiamo) l'ipotesi euclidea. Questo è un argomento che riprenderò più avanti, quando illustrerò le applicazioni delle geometrie non euclidee.
Si era quindi ormai giunti alla consapevolezza che non esiste una geometria "vera", ma che ogni geometria è "vera" se non contraddittoria, nei procedimenti e nei risultati, con l'ipotesi assunta.
Nel 1854 fu la volta di Bernhard Riemann, che discusse all'università di Gottingen la sua tesi per la libera docenza "Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria", in cui, insieme ad una generalizzazione molto spinta dei contenuti della geometria, dà lo spunto per un modello molto semplice di geometria nel quale non vale il postulato delle parallele, in un senso più forte di quello per cui non vale nel sistema di Lobačevskij.
Come abbiamo visto, infatti, il postulato delle parallele afferma sia l'esistenza sia l'unicità della parallela ad una retta per un punto esterno. Nel sistema di Lobačevskij cade l'unicità: per un punto esterno ad una retta data esistono più rette parallele. Riemann considera invece un sistema in cui cade anche il postulato di esistenza: ogni retta condotta da un punto esterno la interseca in un punto.
Felix Klein classificò le geometrie in tre classi fondamentali:
Geometria euclidea: è la geometria delle superfici a curvatura nulla (Euclide);
Geometria ellittica (o sferica): è la geometria delle superfici a curvatura positiva (Riemann);
Geometria iperbolica: è la geometria delle superfici a curvatura negativa (Lobačevskij).
Infatti Riemann ambienta la sua geometria sulla superficie della sfera, considerando "rette" i cerchi massimi, cioè i meridiani in un mappamondo: i paralleli diventano infatti puntiformi ai poli e quindi non possono essere considerati "rette"; i cerchi massimi si incontrano sempre ai poli, quindi è evidente l'impossibilità di avere rette parallele.
La geometria di Lobačevskij è stata invece ambientata da Klein all'interno di una circonferenza, in cui le infinite parallele sono le corde, e da Beltrami su un iperboloide di rotazione detto pseudosfera, a curvatura costantemente negativa.

Sull'universalità

È necessario che l'autrice di questo studio definisca cosa si deve intendere per "universalità", sia dal suo punto di vista che anche da quello degli autori dei quali descrive il pensiero. Questa necessità è determinata dal fatto che l'universalità è in relazione con l'ampiezza del piano d'esistenza sul quale viene a trovarsi, quindi se si considera l'estensione come un tutto universale, ovvero se si crede che tutto ciò che è sia anche esteso, allora l'universalità di cui si tratta sarà solo estesa e non più universale, dal momento che non tutto l'esistente appartiene all'estensione. Potrei portare una moltitudine di altri esempi, ma mi limiterò a quello che ho appena esposto, sufficiente a chiarire ciò che intendo, perché il senso del termine "universale" si deve riferire necessariamente a quello che ha valore per tutta la manifestazione della realtà, su tutti i suoi indefiniti piani che non sono solo quelli formali ed estesi. Tali sono i principi universali e metafisici dell'esistenza, i quali derivano dalla Realtà unica, non duale e indivisa, assoluta quindi, in quanto Quella è causa dell'esistenza che è suo effetto riflesso e capovolto.

Universale.

Perché è necessario definire a quale tipo di universalità ci si riferisca col termine universale? A costo d'essere lapalissiani, universale è inteso genericamente nella sua accezione propria: cioè nel senso più vasto possibile, anche se il concetto di universo è limitato per alcuni alla sfera dello spazio-tempo, per altri invece comprende tutto l'esistente.Mi sfugge il nesso logico per cui se il termine universale non ha una certa caratteristica, e già questo è antitetico al suo significato, perché l'universale è totale e non ha caratteristiche, altrimenti non sarebbe universale, cadono tutti i discorsi matematici, e non vedo come i principi metafisici dell'esistenza possano essere considerati manifestazioni della realtà. Non c'è alcuna polemica in queste affermazioni, solo desiderio di chiarezza.

Tutta la manifestazione

Tutta la manifestazione della realtà è legiferata da principi, e tra questi quelli universali sono i primi sulla scala gerarchica che dal Mistero assoluto discendono ordinati tra loro secondo il loro grado di prossimità al principio primo. Fammi, per cortesia, un esempio di principio universale, e poi se ne potrà discutere meglio. Ciao

Mmh

... un formicolio e mi guardo la punta della scarpa... sarà la cattiva circolazione, penso. Mmh... allento le stringhe, ma non mi sento meglio.

Filosofia, fisica e metafisica.

Cos'è la realtà? Dai tempi della scuola di Mileto i primi naturalisti provarono a definire la realtà primaria e quella eterna,e sono ancora lì a dibattere tra physis e archè e da Talete, Anassimandro e Anassimene arriviamo a Hegel, Schopenauer dopo che Scoto, Leibniz etc. hanno detto la loro, e il dibattito è ancora aperto, passando per il romanticismo che crede in un principio le cui manifestazioni sono le diverse realtà. Potremmo fare un dibattito bizantino su questo, e a voler spaccare il capello in quattro si potrebbe essere perplessi sul fatto che la manifestazione della realtà sia legiferata da principi, espresso in questo modo non mi è chiaro il concetto, diciamo ( e ci avviciniamo a Kant )che per la fisica moderna il reale è ciò che è regolato da leggi, come la legge della casualità. Attenzione: il reale, non la sua manifestazione, che è altra cosa. Mi fermo qui, avendo l'intuizione che il nostro civile scambio di idee spazi tra le mie conoscenze di filosofia e di fisica, e tu piuttosto t'interessi di metafisica, rispettabilissima scelta, ma si tratta di un piano sul quale non ti seguo.

Mentalmente y democraticamente

A scanso di equivoci, l'autrice di "questo studio" non è Nadia, che si è solo limitata ad inserirlo, ma il signor Lorenzo Perego, che non conosco e che gode per questo di tutta la mia stima.
Frank,me fai morì dal ridere!!!
Rimanendo seri (il che certe sere è difficile)da quel poco che ho capito (basandomi soprattutto sulle mie incerte cognizioni di filosofia, fisica e soprattutto metafisica, che in quanto tale riesco a percepire solo a metà) ....secondo Massimo, l'unico veramente universale dovrebbe essere Dio...
a questa asserzione non c'è, nè può esservi opinione..eccettuata quella che ognuno di noi si fa degli altri,
mentalmente e democraticamente
Alessio

Frank

Sì, Frank è irresistibile.

Universalità

Universale non significa assoluto, e l'idea che ha l'uomo di Dio è un'idea, mentre la Realtà è altro da un'idea. Mi mettete in bocca e in testa cose non dette da me, e lo fate secondo idee vostre. L'Universale ha, come complementare, l'individuale, così come il generale ha il particolare. L'Assoluto è oltre ogni divisione e dualità, e questo dovrebbe bastarvi a capire che io non ho chiesto, quando ho indotto a descrivere un principio universale, di descrivere Dio. La metafisica non è un'idea né una conoscenza di ordine culturale, ma è visione certa e non relativa dei principi universali che legiferano l'esistenza. Quando questa conoscenza non c'è, è assente pure la capacità di descrivere un principio certo. Senza principi certi non si va da nessuna parte, o meglio... è concesso scherzare attorno, sotto e di lato, a questa inadeguatezza, e magari anche a esserne felici.

Ops...

Questo sito fa quel che vuole. Ho iniziato ad eliminare una risposta non consona e mi ha eliminato tutta la discussione seguente.

Si riparte d qui?

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Una stanza senza libri è come un corpo senza anima.

Si riparte da qui?

Ora, io conosco poche, pochissime cose e mi baso su quelle, per quanto insufficienti, per barcamenarmi nella vita.
Credo che "la parola" possa essere considerata Universale, anche se spesso i significati che si attribuiscono sono dettati dall'esperienza che ognuno ne fa.
Se parlo di Amore ad esempio, sono certa che avrò un concetto diverso da quello di un altro. Così come Bene o Male. Però esiste un significato iniziale che è quello che dovrebbe valere per tutti.

Peccato non riuscire a trovare l'autore del saggio

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Una stanza senza libri è come un corpo senza anima.

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