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Il castello di carta della matematica - Pagina 3

4) RUSSELL
Ad agitare ulteriormente le già inquiete menti dei sapienti del tempo provvide Bertrand Russell, inglese, logico e matematico, filosofo del linguaggio e maestro di Wittgenstein.
All'inizio del XX secolo, Russell propose una curiosa antinomia (vale a dire una proposizione contraddittoria in sè, tale che se è vera allora è falsa e se è falsa allora è vera) destinata a dare inizio ufficialmente alla crisi dei fondamenti della matematica; infatti questa antinomia scosse l'edificio matematico proprio alle fondamenta, cioè nel cuore della teoria degli insiemi, mentre le geometrie non euclidee si erano in fondo limitate a creare crepe in superficie.
Andiamo quindi ad illustrare l'antinomia di Russel.
Poichè gli insiemi si definiscono in piena libertà, essi si possono pensare suddivisi in due categorie:
• insiemi che tra gli elementi hanno loro stessi: ad esempio, "l'insieme di tutti i concetti astratti" è a sua volta un concetto astratto ed ha perciò se stesso tra i suoi elementi;
• insiemi che non hanno loro stessi come elementi: ad esempio, l'insieme dei numeri naturali non è un numero naturale e perciò, tra i suoi elementi, non c'è se stesso.
Indichiamo allora con K l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi: K = {x; xx}.
Ora ci si pone il problema: K appartiene o no a se stesso?
Se K appartiene a se stesso, allora, per definizione, K ha la proprietà di non avere se stesso tra i suoi elementi; K perciò non appartiene a se stesso: K  K.
Se invece K non appartiene a se stesso, allora, per definizione, ha la proprietà di avere se stesso tra i suoi elementi; K perciò appartiene a se stesso: K  K.
L'evidente contraddizione minava alle radici la teoria degli insiemi a partire dalla quale, dalla fine dell'Ottocento, era stato costruito tutto l'edificio matematico. Nei primi decenni del Novecento molte altre antinomie contribuirono a mettere in crisi l'apparato logico-concettuale che si era dato la matematica e, soprattutto, il programma di fondare la matematica su basi logiche al riparo da qualunque contraddizione. Lo stesso Russell elaborò una complessa teoria (detta teoria dei tipi) nella quale la formazione di insiemi veniva vincolata al fatto che un insieme potesse essere elemento di un altro insieme soltanto se quest'ultimo fosse stato di un "tipo" più generale. Russell aveva infatti individuato un elemento comune di tutte le antinomie: l'autoreferenzialità, il fatto cioè che in un linguaggio, in una teoria, fosse possibile affermare qualche cosa attorno al linguaggio o alla teoria stessa.

5) APPLICAZIONI PRATICHE DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Fino a questo punto, la matematica è stata paragonata ad un immenso edificio, il quale, prima corroso e riempito di crepe in superficie (dalle geometrie non euclidee), poi minato nelle fondamenta (dall'antinomia di Russell), finisce inevitabilmente per crollare su se stesso.
Le macerie tuttavia possono essere recuperate ed utilizzate per creare nuove opere, nuove costruzioni, nuovi edifici.
Le neonate geometrie non euclidee hanno infatti trovato applicazione nei campi più svariati: dalla crittografia alla robotica, dall'astronomia alla navigazione, fino all'algebra avanzata.
Ai teoremi delle geometrie non euclidee i matematici ricorrono per risolvere problemi molto astratti, che però possono avere anche applicazioni concrete. La geometria ellittica, per esempio, è usata anche per cifrare messaggi segreti. La struttura matematica di molti nodi, invece, è governata dalla geometria iperbolica. Un fatto che potrebbe rivelarsi importante in chimica e biologia, per esempio nello studio di molecole complesse come il DNA.
Un'applicazione più astratta è stata la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, una congettura apparentemente ovvia, ma che per quattro secoli nessuno era riuscito a dimostrare. Ecco come si svolse la vicenda. Il lavoro di Fermat ebbe origine dallo studio dell'Aritmetica, l'opera del matematico greco Diofanto, in particolare dal capitolo sui numeri pitagorici, cioè su quelle terne di numeri reali a, b, c che soddisfano l'equazione a2 + b2 = c2 (ad esempio 3, 4, 5).
Fermat osservò che, riformulando il teorema di Pitagora in modo più generale, per qualunque valore dell'esponente n, cioè an + bn = cn, si perveniva a un'equazione che non ammetteva alcuna soluzione intera, per valori di n maggiori di 2. Ad esempio, non esiste alcuna terna di numeri a, b, e c che soddisfi l'equazione a3 + b3 = c3. A margine della sua copia dell'Aritmetica egli annotò: "Ho scoperto una prova veramente rimarchevole di ciò, ma questo margine è troppo piccolo per contenerla". Molti matematici hanno tentato di dimostrare il teorema di Fermat o di trovare un controesempio che lo confutasse. Nel 1908 fu addirittura fissato un compenso di 100.000 marchi dall'Università di Göttingen, in Germania, per chiunque avesse presentato una dimostrazione (ma non una confutazione) entro il 13 settembre del 2007. Con l'aiuto del computer, il teorema è stato dimostrato per esponenti fino a circa 125.000, ma ancora non è stata trovata una dimostrazione valida per tutti i valori di n. Nel giugno 1993, Andrew Wiles, un matematico dell'Università di Princeton, affermò di aver trovato la soluzione, ma nel dicembre successivo fu scoperto un errore nella dimostrazione del teorema, che Wiles riuscì in seguito a correggere. Nel 1998 la dimostrazione del teorema di Fermat di Wiles è stata ufficialmente accettata dall’International Mathematical Union (la società che riunisce tutti i matematici a livello mondiale) che ha riconosciuto i suoi meriti conferendogli una targa d’argento.
Le geometrie non euclidee hanno anche applicazioni ingegneristiche, per muovere i bracci dei robot industriali, per esempio. Un braccio rigido, infatti, è vincolato a muoversi su una circonferenza, o su una sfera, secondo le leggi della geometria ellittica. Il problema diventa più complesso se il braccio è composto da più parti collegate fra loro, che devono anche evitare di scontrarsi e intrecciarsi. In questi casi, il movimento si può rappresentare su una "superficie" astratta che è la generalizzazione di una sfera in uno spazio con più dimensioni e, per farlo, è spesso necessario ricorrere a discipline più generali. Come la geometria differenziale, che include come casi particolari la geometria euclidea e quelle non euclidee, perchè vale non solo su piani, sfere o iperboloidi, ma su una classe vastissima di superfici (un'altra geometria non euclidea sempre più generalizzata,quindi). Per questo motivo, la stessa disciplina è anche adatta a descrivere il movimento di robot su superfici arbitrarie. Un robot come il Sojourner (che nel 1997 esplorò Marte), per esempio, deve muoversi su un suolo ondulato e irregolare nella maniera più opportuna: seguendo la via che corrisponde al minor consumo e al minor rischio. In pratica, questo compito equivale a seguire il percorso più "breve" (la generalizzazione della linea retta) in un opportuno spazio non euclideo, anche se non corrispondente allo spazio reale.

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